Материалы для учеников

Звездчатый пятиугольник (звезда).

Интересной, но очень мало затронутой темой является символика звезды.

«Звезда – это превосходство, постоянство, предводительство, защита, бдительность, устремленность».

Древние верили, что звезды управляют человеческими судьбами, считали их божествами или помощниками божеств, что сказалось на общем символизме звезд.

Звезды считались небесными окнами или входом на небеса. Их называли глазами Митры, персидского бога света. В Ветхом Завете «Звезда Иакова» – символ Мессии; в Новом Завете ее упоминает Иисус Христос, называя «яркой и светлой утренней звездой».

С пятью лучами обычно изображается Вифлеемская звезда. Звезда связана с числом 5. Число 5 – «символ человека и поэтому оно графически изображается фигурой человека, чья голова, разведенные в стороны руки и широко расставленные ноги образуют пятиконечную звезду или пентаграмму».

Пентаграмма является одним из важнейших магических символов. Само это слово происходит от греческих слов "pente", что означает пять, и "gramma" – черта, линия.

Пентаграмма - фигура с пятью вершинами, образованная двумя восходящими пересекающимися лучами, которые отходят от каждой стороны пентагона (правильного пятиугольника), таким образом, получается звезда.

Первые изображения пентаграммы

Первые известные изображения пентаграммы датируются примерно 3500 г. до н. э.,

Римский император Константин I включил пентаграмму в свою печать и свой амулет, потому что посчитал, что благодаря ей, он нашёл истинную веру и принял христианство. Английский воин, сэр Гавейн, племянник Короля Артура, в качестве личного символа использовал пентаграмму и поместил её на своём щите в золоте на красном фоне. Пять острых концов звезды символизировали пять рыцарских достоинств — «благородство, целомудрие, отвага и благочестие».

Итак, пентаграмма - правильный невыпуклый пятиугольник, она же правильный звездчатый пятиугольник или правильная пятиугольная звезда.

Звезда – это одна из важных фигур сакральной геометрии.

Сакральная геометрия - это учение о формах Пространства и закономерностях развития Вселенной

Пятиконечной звезде — около 3000 лет.

Пентаграмму можно начертить 10 различными способами

Символ пентаграммы известен большинству народов Земли. Ранним христианам пентаграмма была напоминанием о пяти ранах Христа, которые он получил, страдая за человечество, также она символизировала Троицу и Двойную природу Христа (Божественную и человеческую).

У немецкого поэта Гёте в трагедии "Фауст" (1808 г), описывается случай, когда дьявол Мефистофель проник в жилище учёного Фауста, потому что пентаграмма на его доме была плохо начерчена, и промежуток в уголке остался. Фигура должна быть совершенно замкнутой и не обнаруживать никаких разрывов.

Пентаграмма в живописи

Примером использования Пентаграммы в живописи является Портрет Моны Лизы (Джоконды). Обнаружено, что композиция рисунка основана на «золотых треугольниках», являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

Пентаграмма глазами математиков.

Пентагра́мма (пентальфа, пентагерон; греч. πεντάγραμμον от πέντε — «пять» и γράμμα — «черта, линия») — правильный пятиугольник, на каждой стороне которого построены равнобедренные треугольники, равные по высоте, иначе ее называют звездой.

Пентаграмма — правильная геометрическая фигура, обладающая пятилучевой симметрией.

Из Древней Вавилонии в Средиземноморье, как полагают, звездчатый пятиугольник перевез Пифагор. Он первым стал изучать пентаграмму как геометрическую фигуру. Пифагор считал ее символом совершенства и сделал тайным знаком своей философско - математической школы, с помощью которого пифагорейцы отличали своих от чужих.

Звезда — определённый вид плоских невыпуклых многоугольников, не имеющий, однако, однозначного математического определения

Звезда — плоская геометрическая фигура, составленная из треугольных лучей, исходящих из общего центра, сливающихся в точке схождения.

Построение пентаграммы

Пентаграмма — простейшая форма звезды, которую можно изобразить одним росчерком пера, ни разу не оторвав его от бумаги и при этом ни разу же не пройдя дважды по одной и той же линии. Пентаграмму можно начертить 10 различными способами.

Один из способов построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюре .

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник, затем из каждой вершины провести отрезок, соединяющий несоседние вершины.

«Золотое сечение» - гармоническая пропорция. Пентаграмма и золотое сечение

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении. 

Золотое сечение – это закон пропорциональной связи целого и составляющих это целое частей, когда целое так относится к большей части, как большая часть - к меньшей.

Простейший пример золотого сечения – это деление отрезка в среднем и крайнем отношениях.

При золотом сечении отношение длины всего отрезка к длине большей части равно отношению большей части к меньшей:

Геометрические свойства пентаграммы.

Замечательный пример «золотого сечения» представляет пентаграмма. В чем привлекательность звезды (пентаграммы)?

Пентаграмма обладает интересными геометрическими свойствами:

I свойство. Поворотная симметрия пятого порядка. Звезда имеет пять осей симметрии, которые совмещаются при каждом повороте на 72º.

Поворотная симметрия пятого порядка встречается в животном мире, например, у морской звезды и панциря морского ежа, а также у цветков незабудки, гвоздики, колокольчика, шиповника, лапчатки гусиной, груши, яблони, малины, рябины и т. д.

II свойство. Постоянство отношений составляющих её отрезков.

Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций!

На рисунке

AD : AC = AC : CD = AB : BC = AD : AE = AE : EC

Пользуясь симметрией звезды, этот ряд равенств можно продолжить. Все  эти отношения равны числу Ф (1,618...).

III свойство. Углы при вершинах пятиконечного звездчатого многоугольника равны по 360.

Диагонали правильного n - угольника делят его углы на равные части.

В пятиугольнике ABCDE <1 = < 2 = < 3 = 108°: 3 = 36° , (как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги). Все углы в пентаграмме кратны 36.

IV свойство. Наличие у пентаграммы возвышенных треугольников.

Лучи пентаграммы, выходящие из одной точки, образуют возвышенный треугольник.

Возвышенный треугольник – это равнобедренный треугольник, у которого углы при основании (72°) вдвое больше угла при вершине (36°), который обладает уникальным свойством: биссектриса угла при основании делит противоположную сторону в золотом сечении.

V свойство. Отрезки пентаграммы связаны между собой всеми видами средних.

VI свойство.  Сумма углов пятиконечной звезды равна 180º.

Золотое сечение используется также для построения правильных выпуклых звёздчатых многогранников.

Существует всего четыре правильных звездчатых многогранника. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630), а два других были построены французским математиком и механиком Луи Пуансо (1777 – 1859). Поэтому правильные звездчатые многогранники получили названия тел Кеплера – Пуансо. Развертки этих тел составлены из «золотых» треугольников. («Золотыми» называются равнобедренные треугольники с углами 36, 72, 72 и 108, 36, 36 градусов, где отношения боковой стороны и основания равно или приближается к числу Ф).

7.  Тела Кеплера – Пуансо